YKS Matematik Bölme-Bölünebilme Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

YKS Matematik Bölme-Bölünebilme detaylı konu anlatımı bu yazı içeriğinde mevcuttur. Yazı içeriğinin sonunda YKS Matematik Bölme-Bölünebilme Konu Anlatımı ve Soru Çözümü PDF olarak mevcuttur.

Bölme

Bir sayıyı eşit parçalara ayırma işlemidir. Bölme işleminde üç temel öğe vardır:

• Bölünen: Bölmek istediğimiz sayı.
• Bölen: Bölüneni parçalara ayıran sayı.
• Bölüm: Bölme işleminin sonucu.

Bölme işlemi, aşağıdaki şekilde gösterilir:

Bölünen / Bölen = Bölüm

Örnek: 12 / 3 = 4

Bölünebilme

Bir sayının başka bir sayıya tam olarak bölünebilme özelliğidir. Bir sayının başka bir sayıya tam olarak bölünebilmesi için aşağıdaki kurallardan birini sağlaması gerekir:

Bölünebilme Kuralları:

• 2’ye Bölünebilme: Bir sayının son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 ise o sayı 2’ye bölünür.

Örnek: 12, 24, 36, 48, 50 gibi sayılar 2’ye bölünebilir.

• 3’e Bölünebilme: Bir sayının rakamlarının toplamı 3’ün katı ise o sayı 3’e bölünür.

Örnek: 15 (1 + 5 = 6), 21 (2 + 1 = 3), 36 (3 + 6 = 9) gibi sayılar 3’e bölünebilir.

• 4’e Bölünebilme: Bir sayının birler ve onlar basamağı 4’ün katı ise o sayı 4’e bölünür.

Örnek: 12 (12 = 4 x 3), 24 (24 = 4 x 6), 36 (36 = 4 x 9) gibi sayılar 4’e bölünebilir.

• 5’e Bölünebilme: Bir sayının son basamağı 0 veya 5 ise o sayı 5’e bölünür.

Örnek: 10, 25, 30, 45, 50 gibi sayılar 5’e bölünebilir.

• 6’ya Bölünebilme: Bir sayı hem 2’ye hem de 3’e bölünüyorsa o sayı 6’ya bölünür.

Örnek: 12 (2’ye ve 3’e bölünür), 24 (2’ye ve 3’e bölünür), 36 (2’ye ve 3’e bölünür) gibi sayılar 6’ya bölünebilir.

• 8’e Bölünebilme: Bir sayının son üç basamağı 8’in katı ise o sayı 8’e bölünür.

8 ile bölünebilme kuralı, bir sayının 8 ile tam bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılan bir yöntemdir. Bu kurala göre, bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8 ile tam bölünüyorsa, o sayı da 8 ile tam bölünür. Örneğin, 4568 sayısının son üç basamağı 568’dir ve bu sayı 8 ile tam bölünür. Dolayısıyla, 4568 sayısı da 8 ile tam bölünür.

8 ile bölünebilme kuralı, bölme işlemini kolaylaştırmak ve kalanı bulmak için kullanışlıdır. Bir sayının 8 ile bölümünden kalanı, o sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalan sayıya eşittir. Örneğin, 1234 sayısının 8 ile bölümünden kalanı, 234 sayısının 8 ile bölümünden kalan sayıya eşittir. 234 sayısını 8’e böldüğümüzde kalan 2 olduğu için, 1234 sayısının 8 ile bölümünden kalan da 2’dir.

• 9’a Bölünebilme: Bir sayının rakamlarının toplamı 9’un katı ise o sayı 9’a bölünür.

9’a bölünebilme kuralı, bir sayının rakamlarının toplamının 9’un katı olup olmadığına bakarak uygulanır. Eğer rakamların toplamı 9’un katı ise, sayı 9’a kalansız bölünebilir. Eğer rakamların toplamı 9’un katı değilse, sayı 9’a kalanlı bölünebilir. Bu kuralın mantığı, 9’un 10’un bir eksiği olması ve 10’un katlarının 9’a bölündüğünde 0 kalan vermesidir. Örneğin, 123 sayısının 9’a bölünebilmesi için 1+2+3=6 sayısının 9’un katı olması gerekir. Ama 6, 9’un katı değildir. Bu yüzden 123 sayısı 9’a kalanlı bölünür. Ama 126 sayısının 9’a bölünebilmesi için 1+2+6=9 sayısının 9’un katı olması yeterlidir. 9, 9’un katı olduğu için 126 sayısı 9’a kalansız bölünür.

• 11’e Bölünebilme: Bir sayının rakamlarının alternatif toplamları arasındaki fark 0 veya 11’in katı ise o sayı 11’e bölünür.

11 ile bölünebilme kuralı, bir sayının 11’e tam olarak bölünüp bölünmediğini veya 11’e bölündüğünde kalanı bulmak için kullanılan bir yöntemdir. Bu kuralı uygulamak için şu adımları izleyebiliriz:

• Sayının birler basamağından başlayarak her bir rakamı sağdan sola doğru sırasıyla + - + - + - ... işaretleriyle işaretleyelim.
• + işaretli rakamları kendi aralarında toplayalım ve - işaretli rakamları kendi aralarında toplayalım.
• Toplam değerlerin farkını alalım. Bu fark, sayının 11 ile bölümünden kalanı verir.
• Eğer fark 0 veya 11’in katı ise, sayı 11’e tam bölünür. Eğer fark 0 veya 11’in katı değil ve pozitif ise, sayı 11’e bölünmez ve kalan farktır. Eğer fark 0 veya 11’in katı değil ve negatif ise, sayıya pozitif olana kadar sürekli 11 ekleyelim. Elde ettiğimiz ilk pozitif değer, sayının 11 ile bölümünden kalandır.

Örnek olarak, 123456 sayısının 11 ile bölünebilme durumunu ve kalanını bulalım.

• Sayının rakamlarını + - + - + - şeklinde işaretleyelim.

+6 -5 +4 -3 +2 -1

• + işaretli rakamları toplayalım.

6 + 4 + 2 = 12

• - işaretli rakamları toplayalım.

-5 - 3 - 1 = -9

• Toplam değerlerin farkını alalım.

12 - (-9) = 21

• Fark 0 veya 11’in katı değil, pozitif olduğu için, sayı 11’e bölünmez ve kalan 21’dir.

Bu şekilde, 11 ile bölünebilme kuralını uygulayarak herhangi bir sayının 11’e bölünüp bölünmediğini veya 11’e bölündüğünde kalanı bulabiliriz.

Ek Örnekler:

• 124 sayısı 2’ye bölünür mü?

Cevap: Evet, 124 sayısı 2’ye bölünür. Çünkü 124 sayısının son basamağı 4’tür ve 4, 2’nin katıdır.

• 27 sayısı 3’e bölünür mü?

Cevap: Evet, 27 sayısı 3’e bölünür. Çünkü 27 sayısının rakamlarının toplamı 9’dur ve 9, 3’ün katıdır.

• 456 sayısı 4’e bölünür mü?

Cevap: Hayır, 456 sayısı 4’e bölünmez. Çünkü 456 sayısının birler ve onlar basamağı 56’dır ve 56, 4’ün katı değildir.

• 500 sayısı 5’e bölünür mü?

Cevap: Evet, 500 sayısı 5’e bölünür. Çünkü 500 sayısının son basamağı 0’dır ve 0, 5’in katıdır.

• 126 sayısı 6’ya bölünür mü?

Cevap: Evet, 126 sayısı 6’ya bölünür. Çünkü 126 sayısı hem 2’ye hem de 3’e bölünür.

• 3456 sayısı 8’e bölünür mü?

Cevap: Hayır, 3456 sayısı 8’e bölünmez. Çünkü 3456 sayısının son üç basamağı 456 değildir ve 456, 8’in katı değildir.

• 279 sayısı 9’a bölünür mü?

Cevap: Evet, 279 sayısı 9’a bölünür. Çünkü 279 sayısının rakamlarının toplamı 18’dir ve 18, 9’un katıdır.

• 3432 sayısı 11’e bölünür mü?

Cevap: Evet, 3432 sayısı 11’e bölünür.

Çözüm:

1. 1432 sayısının rakamlarını alternatif olarak toplarız: 2-3+4-3 = 0
2. Fark 0 veya 11’in katı olduğu için 3432 sayısı 11’e bölünür.

YKS Matematik Bölme-Bölünebilme Soru Çözümü

1. 456 sayısının 7’ye tam bölünebilmesi için son basamağına hangi rakam eklenmelidir?

456 sayısının 7’ye tam bölünebilmesi için, bölünen sayının (456) bölen sayıya (7) göre kalanının 0 olması gerekir.

456’yı 7’ye böldüğümüzde kalan 1’dir. Kalanı 0 yapmak için 1’i 7’den çıkarmalıyız.

1 – 7 = -6

Ancak, bir sayıya negatif rakam ekleyemeyiz. Bu nedenle, kalanı 0 yapmak için 7’ye ekleyeceğimiz rakamı bulmalıyız.

7 + (-6) = 1

456’ya 1 eklediğimizde 457 sayısını elde ederiz. 457’yi 7’ye böldüğümüzde kalan 0’dır.

Dolayısıyla, 456 sayısının 7’ye tam bölünebilmesi için son basamağına 1 eklenmelidir.

2. 248 sayısının 6’ya bölünebilmesi için en az kaç eklenmelidir?

248 sayısının 6’ya bölünebilmesi için hem 2’ye hem de 3’e bölünebilmesi gerekir.

248 sayısı 2’ye bölünebildiği için bir problem yok.

248 sayısının 3’e bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 3’ün katı olması gerekir.

2 + 4 + 8 = 14

14, 3’ün katı değildir. 14’ü 3’ün katına tamamlamak için en az 2 eklememiz gerekir.

14 + 2 = 16

16, 3’ün katıdır. Dolayısıyla, 248 sayısının 3’e bölünebilmesi için en az 2 eklememiz gerekir.

Cevap: 2

3. Bir sayının rakamlarının toplamı 15 ise, bu sayının 5’e bölünebilmesi için birler basamağı kaç olmalıdır?

Bir sayının 5’e bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.

Rakamlarının toplamı 15 olan bir sayının birler basamağı 0 veya 5 olabilmesi için onlar basamağının 1 veya 4 olması gerekir.

• Eğer onlar basamağı 1 ise:

Birler basamağı + Onlar basamağı + Diğer rakamlar = 15 Birler basamağı + 1 + Diğer rakamlar = 15

• Eğer onlar basamağı 4 ise:

Birler basamağı + Onlar basamağı + Diğer rakamlar = 15 Birler basamağı + 4 + Diğer rakamlar = 15

Her iki durumda da:

Birler basamağı = 15 – (Onlar basamağı + Diğer rakamlar)

• Eğer onlar basamağı 1 ise:

Birler basamağı = 15 – (1 + Diğer rakamlar)

• Eğer onlar basamağı 4 ise:

Birler basamağı = 15 – (4 + Diğer rakamlar)

Her iki durumda da:

Birler basamağının 0 veya 5 olması için “Diğer rakamlar” toplamının 14 veya 10 olması gerekir.

• Eğer “Diğer rakamlar” toplamı 14 ise:

• Eğer onlar basamağı 1 ise:

Birler basamağı = 15 – (1 + 14) = 0

• Eğer onlar basamağı 4 ise:

Birler basamağı = 15 – (4 + 14) = 5

• Eğer “Diğer rakamlar” toplamı 10 ise:

• Eğer onlar basamağı 1 ise:

Birler basamağı = 15 – (1 + 10) = 4

• Eğer onlar basamağı 4 ise:

Birler basamağı = 15 – (4 + 10) = 1

Gördüğünüz gibi, bir sayının rakamlarının toplamı 15 ise ve bu sayının 5’e bölünebilmesi isteniyorsa, birler basamağı 0 veya 5 olabilir.

Cevap: 0 veya 5

4. 843 sayısının 9’a bölünebilmesi için hangi rakam çıkarılmalıdır?

Bir sayının 9’a bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 9’un katı olması gerekir.

843 sayısının rakamlarının toplamı 15’tir. 15, 9’un katı değildir.

15’i 9’un katına tamamlamak için en az 6 çıkarmalıyız.

15 – 6 = 9

Dolayısıyla, 843 sayısının 9’a bölünebilmesi için 6 rakamı çıkarılmalıdır.

Cevap: 6

5. Bir sayının 2’ye, 3’e ve 5’e bölünebilmesi için son basamağı kaç olmalıdır?

Bir sayının 2’ye, 3’e ve 5’e bölünebilmesi için aşağıdaki koşulları sağlaması gerekir:

2’ye bölünebilme:

• Son basamağının çift olması gerekir.

3’e bölünebilme:

• Rakamlarının toplamının 3’ün katı olması gerekir.

5’e bölünebilme:

• Son basamağının 0 veya 5 olması gerekir.

Bu üç koşulu bir arada sağlayan tek bir son basamak 0‘dır.

Çünkü:

• 0 çift bir sayıdır ve 2’ye bölünebilir.
• 0’ın toplamı 0’dır ve 3’ün katı olan 0’a eşittir.
• 0, 5’e bölünebilen bir sayıdır.

Dolayısıyla, bir sayının 2’ye, 3’e ve 5’e bölünebilmesi için son basamağı 0 olmalıdır.

Örnek:

• 120 sayısı 2’ye, 3’e ve 5’e bölünebilir.
• 345 sayısı 3’e ve 5’e bölünebilir, ancak 2’ye bölünemez.
• 670 sayısı 2’ye ve 5’e bölünebilir, ancak 3’e bölünemez.

Cevap: 0

6. Bir sayının 8’e bölünebilmesi için son üç basamağının 8’in katı olması yeterli midir? Açıklayınız.

Bir sayının 8’e bölünebilmesi için son üç basamağının 8’in katı olması yeterli midir sorusunun cevabı evettir. Bu kuralın sebebi, 8’in 2’nin küpü olması ve herhangi bir sayının 1000’e bölümünden kalanının son üç basamağını vermesidir. Örneğin, 123456 sayısının 8’e bölünebilmesi için 456 sayısının 8’e bölünebilmesi yeterlidir. 456 sayısı 8’e tam bölündüğü için 123456 sayısı da 8’e tam bölünür. Aynı şekilde, 123000 sayısı da 8’e tam bölünür, çünkü 0 sayısı 8’in katıdır.

7. Bir sayının 3’e ve 9’a bölünebilmesi için hangi koşulların sağlanması gerekir?

Bir sayının 3’e ve 9’a bölünebilmesi için aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:

• Bir sayının 3’e bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 3’ün katı olması gerekir. Örneğin, 123 sayısı 3’e bölünür, çünkü 1+2+3=6 ve 6, 3’ün katıdır.
• Bir sayının 9’a bölünebilmesi için, sayının rakamlarının toplamının 9’un katı olması gerekir. Örneğin, 729 sayısı 9’a bölünür, çünkü 7+2+9=18 ve 18, 9’un katıdır.

• YKS Matematik Bölme-Bölünebilme Konu Anlatımı ve Soru Çözümü PDF

Diğer YKS Konularına web sitemizden ulaşabilirsiniz. Sorularınız için lütfen yorum bölümüne çekinmeden yazın. Başarılar dilerim.