YKS Matematik Ebob-Ekok Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

tarafından ogrencikozu Tarihinde 21 Şubat 2024 0

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) matematikte önemli kavramlardır ve genellikle sayıların bölme işlemlerinde kullanılırlar. İlk olarak EBOB kavramını ele alalım.

Bu arada bu içeriğin çıktısını alabilmen için bu yazının sonunda PDF olarak eklenmiştir.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

EBOB, verilen birden fazla sayının ortak bölenlerinden en büyüğüdür. İki veya daha fazla sayının EBOB’u, bu sayıları bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının EBOB’u 6’dır çünkü 12 ve 18’in her ikisini de bölen en büyük pozitif tam sayı 6’dır.

EBOB’u bulmak için genellikle iki farklı yöntem kullanılır:

Asal Çarpanlar Yöntemi: Her sayının asal çarpanlarını bulup ortak çarpanları çarparak EBOB’u bulabilirsiniz.
Bölme Yöntemi: Büyük sayıları küçük sayıya bölerek ortak bölenleri bulabilir ve en büyüğünü seçebilirsiniz.

ÖRNEK olarak, 27 ve 36 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

İlk olarak, 27 ve 36 sayılarının pozitif bölenlerini yazalım:27’nin pozitif tam sayı bölenleri: 1, 3, 9, 27
36’nın pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Sonra, 27 ve 36’nın ortak bölenlerini bulalım:27 ve 36’nın ortak bölenleri: 1, 3, 9
Ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım, bu da EBOB (En Büyük Ortak Bölen) olarak adlandırılır.27 ve 36’nın En Büyük Ortak Böleni 9’dur.

Bunu EBOB(27, 36) = 9 veya (27, 36)EBOB = 9 şeklinde ifade ederiz.

ÖRNEK: Bir başka örnek olarak, 28 ve 42 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.

İlk olarak, 28 ve 42 sayılarının pozitif bölenlerini yazalım:28’in pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28
42’nin pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Sonra, 28 ve 42’nin ortak bölenlerini bulalım:28 ve 42’nin ortak bölenleri: 1, 2, 14
Ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım, bu da EBOB (En Büyük Ortak Bölen) olarak adlandırılır.28 ve 42’nin En Büyük Ortak Böleni 14’tür.

Bunu EBOB(28, 42) = 14 veya (28, 42)EBOB = 14 şeklinde ifade ederiz.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

EKOK, verilen birden fazla sayının katlarının içinde en küçük olanıdır. Yani, en küçük pozitif tam sayıdır ki, verilen sayıların hepsi bu sayıya tam bölünsün. Örneğin, 4 ve 6 sayılarının EKOK’u 12’dir çünkü 4’ün katları (4, 8, 12, …) ve 6’nın katları (6, 12, …) içinde en küçük ortak sayı 12’dir.

EKOK’u bulmak için de genellikle iki farklı yöntem kullanılır:

Asal Çarpanlar Yöntemi: Her sayının asal çarpanlarını bulup çarparak EKOK’u bulabilirsiniz.
Bölme Yöntemi: Büyük sayıları küçük sayıya bölebilecekleri kadar böler ve ardından kalan sayıları da çarparak EKOK’u bulabilirsiniz.

Örnek: 6 ve 8 sayılarının EKOK’unu bulunuz.

Çözüm: 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … 8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, … Ortak katlar: 24, 48, … En küçük ortak kat (EKOK): 24

Örnek: 15 ve 25 sayılarının EKOK’unu hesaplayınız.

Çözüm: 15’in katları: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … 25’in katları: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, … Ortak katlar: 75, 150, … En küçük ortak kat (EKOK): 75

Örnek: 21 ve 14 sayılarının EKOK’unu bulunuz.

Çözüm: 21’in katları: 21, 42, 63, 84, 105, 126, 147, 168, … 14’in katları: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, … Ortak katlar: 42, 84, … En küçük ortak kat (EKOK): 42

Örnek: 12 ve 18 sayıları için EKOK nedir?

Çözüm: İlk olarak her sayıyı asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2^2 * 3 18 = 2 * 3^2 EKOK, her bir asal çarpanın en yüksek üssüyle çarpılarak bulunur. Bu durumda EKOK(12, 18) = 2^2 * 3^2 = 36.

Örnek: 15 ve 20 sayıları arasındaki en küçük ortak kat nedir?

Çözüm: 15 = 3 * 5 ve 20 = 2^2 * 5 EKOK, her bir asal çarpanın en yüksek üssüyle çarpılarak bulunur. Bu durumda EKOK(15, 20) = 2^2 * 3 * 5 = 60.

Örnek: 24 ve 36 sayıları için EKOK kaçtır?

Çözüm: 24 = 2^3 * 3 ve 36 = 2^2 * 3^2 EKOK, her bir asal çarpanın en yüksek üssüyle çarpılarak bulunur. Bu durumda EKOK(24, 36) = 2^3 * 3^2 = 72.

Örnek: 9 ve 27’nin en küçük ortak katı nedir?

Çözüm: 9 = 3^2 ve 27 = 3^3 EKOK, her bir asal çarpanın en yüksek üssüyle çarpılarak bulunur. Bu durumda EKOK(9, 27) = 3^3 = 27.

Örnek: 16 ve 24 sayıları arasındaki en küçük ortak kat nedir?

Çözüm: 16 = 2^4 ve 24 = 2^3 * 3 EKOK, her bir asal çarpanın en yüksek üssüyle çarpılarak bulunur. Bu durumda EKOK(16, 24) = 2^4 * 3 = 48.

Örnek: 8 ve 12 sayılarının EKOK’unu bulunuz.

8’in asal çarpanları: 2^3
12’nin asal çarpanları: 2^2 * 3
Her iki sayının asal çarpanlarını alıp en yüksek üslü olanları seçeriz: 2^3 * 3 = 24
Sonuç: EKOK(8, 12) = 24

Örnek: 5, 10 ve 20 sayılarının EKOK’unu hesaplayınız.

5’in asal çarpanları: 5
10’un asal çarpanları: 2 * 5
20’nin asal çarpanları: 2^2 * 5
Her üç sayının asal çarpanlarını alıp en yüksek üslü olanları seçeriz: 2^2 * 5 = 20
Sonuç: EKOK(5, 10, 20) = 20

Örnek: İki otobüsün bir sonraki buluşma zamanını bulunuz.

Birinci otobüsün periyodu: 15 dakika
İkinci otobüsün periyodu: 20 dakika
EKOK(15, 20) = 2^2 * 3 * 5 = 60 dakika
Her iki otobüs de 08:00’de buluştuğuna göre, bir sonraki buluşma 09:00’da olacaktır.

Örnek: A = 48 olduğuna göre, B’nin olası değerlerini bulunuz.

A’nın asal çarpanları: 2^4 * 3
EKOK(A, B) = 240
240’ın asal çarpanları: 2^4 * 3 * 5
B sayısının A ile ortak olmayan ekstra asal çarpanı olmalı: 5
B’nin olası değerleri, 240’ı A ile paylaşan sayılardır: 5, 10, 15, … B = 5 olarak alındığında, EKOK(48, 5) = 240 doğru olur.

Örnek: Farklı üç asal sayının EKOK’u nedir?

Asal sayılar kendi başlarına asal çarpanlardır.
EKOK(A, B, C) = A * B * C
Farklı üç asal sayının EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Örnek: 120 ve X sayılarının EKOK’u 600 ise, X’in olası değerlerini bulunuz.

120’nin asal çarpanları: 2^3 * 3 * 5
600’ün asal çarpanları: 2^3 * 3 * 5^2
EKOK(120, X) = 600 olduğuna göre, X’in asal çarpanlarında 5^2 olmalı ve 2^3, 3, 5’i kapsamalıdır.
X = 5^2 = 25, ancak bu 120 ile 600 EKOK’unu vermez. X’in 120’nin çarpanlarını da içermesi gerektiği için, X = 600 veya X’in 120 ile ortak asal çarpanlarının bir kombinasyonu olabilir.

Örnek: Ali ve Veli bir kitabı sırayla okumak istemektedirler. Ali kitabı 12 günde, Veli ise 18 günde bitirebilmektedir. Eğer birlikte aynı kitabı okumaya başlarlarsa, kitabı en erken kaç günde bitirirler? (Kitabın tamamını okumaları gerektiğini ve her gün kitabın belli bir kısmını okuyabileceklerini varsayın.)

Çözüm:

Ali kitabı 12 günde bitirebiliyor, yani günde 1/12’sini okuyor. Veli ise kitabı 18 günde bitirebiliyor, yani günde 1/18’ini okuyor.

Dolayısıyla, Ali ve Veli birlikte bir gün içinde toplam olarak kitabın 1/12 + 1/18’ini okuyacaklar.

1/12 + 1/18 = (3/36) + (2/36) = 5/36

Yani her gün birlikte 5/36’sını okuyacaklar.

Dolayısıyla, kitabı bitirmek için gereken gün sayısı:

1 / (5/36) = 36 / 5 = 7.2 gün

Yani, Ali ve Veli birlikte kitabı en erken 7.2 gün içinde bitireceklerdir. Ancak genellikle günler tam sayı olarak hesaplanır, bu durumda bir sonraki tam güne yuvarlamak gerekir. Yani, birlikte en erken 8 gün içinde bitireceklerdir.

Örnek: Bir otobüs firması, A şehrinden B şehrine her 15 dakikada bir, B şehrinden A şehrine ise her 20 dakikada bir otobüs göndermektedir. Eğer her iki yönde de ilk otobüsler saat 08.00’de hareket ederse, aynı anda hareket eden sonraki otobüsler saat kaçta olur?

Çözüm

İki yönde de aynı anda hareket eden otobüsleri bulmak için, her iki otobüs hattının da kalkış saatlerinin en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerekir.

A şehrinden B şehrine: Otobüsler her 15 dakikada bir kalkıyor. B şehrinden A şehrine: Otobüsler her 20 dakikada bir kalkıyor.

EKOK (15, 20):

15’in çarpanları: 1, 3, 5, 15
20’nin çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20

Her iki listede de bulunan en küçük sayı 60’tır. Bu nedenle, her iki yönde de aynı anda hareket eden sonraki otobüsler saat 09.00’da olacaktır.

Hesaplama:

İlk otobüsler saat 08.00’de kalkıyor.
A şehrinden B şehrine her 15 dakikada bir otobüs kalkıyor.
B şehrinden A şehrine her 20 dakikada bir otobüs kalkıyor.
EKOK (15, 20) = 60 dakika.
08.00 + 60 dakika = 09.00

Sonuç: Her iki yönde de aynı anda hareket eden sonraki otobüsler saat 09.00’da olacaktır.

Örnek: 24, 36 ve 48 sayılarının EBOB ve EKOK değerlerinin toplamı nedir?

EBOB:

24 = 2^3 * 3 36 = 2^2 * 3^2 48 = 2^4 * 3

EBOB (24, 36, 48) = 2^2 * 3 = 12

EKOK:

EKOK (24, 36, 48) = 2^4 * 3^2 = 144

Toplam:

12 + 144 = 156

Sonuç: 24, 36 ve 48 sayılarının EBOB ve EKOK değerlerinin toplamı 156‘dır.

YKS Matematik Ebob-Ekok Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

Diğer YKS Konularına web sitemizden ulaşabilirsiniz. Sorularınız için lütfen yorum bölümüne çekinmeden yazın. Başarılar dilerim.