YKS Matematik Sayı Kümeleri ve Çeşitleri Konu Anlatımı ve Soru Çözümü

tarafından ogrencikozu Son güncelleme 15 Şubat 2024 0

YKS Matematiğin Temel Konusu olan Sayı Kümeleri ve Çeşitleri konu anlatımı ve örnek soru çözümleri bu yazımız içerisinde yer almaktadır. YKS ye çalışmaya başladıysan öğrenci kozundan da destek alabilirsin.

Haydi o zaman başlayalım YKS Matematik Sayı Kümeleri ve Çeşitleri konusuna hazır mısın!!

Burada yer alan konu anlatımı ve örnek soru çözümü aşağıda pdf linki paylaşılmıştır. PDF olarak çıktısını alabilirsiniz.

Temel Kümeler

Doğal Sayılar (ℕ):

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …}
Elma sayısını saymak için kullanılır: 1 elma, 2 elma, 3 elma, …
Kaç adım attığımızı saymak için kullanılır: 1 adım, 2 adım, 3 adım, …
Bir sayma işleminde kaç tane nesne olduğunu gösterir: 5 elma + 3 elma = 8 elma

Tam Sayılar (ℤ):

ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Sıcaklık, deniz seviyesinden yükseklik veya borç gibi negatif değerleri içeren sayılar için kullanılır.
Bir sayının negatif veya pozitif olduğunu gösterir: +5 (pozitif), -3 (negatif)
Bir sayının sıfırdan büyük veya küçük olduğunu gösterir: 7 > 0, -2 < 0

Ondalık Sayılar (ℚ):

ℚ = {…, -2.5, -1.75, -1, 0, 0.5, 1.25, 2, …}
Kesirli sayıları (tam sayı olmayan) içeren kümedir.
Ondalık gösterimi olan sayıları içerir: 0.5, 1.25, 3.14
Ölçümlerde ve hesaplamalarda kullanılır: Bir kekin 3.5 kg olması, bir arabanın 100 km/saat hızla gitmesi

Özel Kümeler

Rasyonel Sayılar:

Rasyonel sayılar, ondalık sayılar kümesi ile tam sayılar kümesinin kesişimidir. ℚ ∩ ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Rasyonel sayılar, iki tam sayının kesri (a/b) şeklinde ifade edilebilir. b sıfırdan farklı olmak zorundadır.
Rasyonel sayılar, ondalık gösterimi sonlu veya periyodik olan sayıları içerir.
Örnekler: 1/2, 3.5, -2.125, 14/3

İrrasyonel Sayılar:

İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimi sonsuz ve periyodik olmayan sayılardan oluşan kümedir. ℚ’.
İrrasyonel sayılar, kesir veya ondalık gösterimi ile tam olarak ifade edilemez.
Örnekler: √2, π, e

Kesirli Sayılar:

Kesirli sayılar, iki tam sayının bölümü (a/b) şeklinde ifade edilebilen sayılardan oluşan kümedir. b sıfırdan farklı olmak zorundadır.
Kesirli sayılar, tam sayıları, ondalık sayıları ve irrasyonel sayıları da içerir.
Örnekler: 1/2, 3.5, √2/2, 7/π

Tam Kare Sayılar:

Tam kare sayılar, tam sayıların karelerinden oluşan kümedir. {1, 4, 9, 16, …}.
Tam kare sayıların karekökü tam sayıdır.
Örnekler: 1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9

Asal Sayılar:

Asal sayılar, 1’den ve kendinden başka böleni olmayan tam sayılardan oluşan kümedir. {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}.
Asal sayılar, 1 ve kendinden başka böleni olmayan doğal sayılardır.
Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13

Kümeler Arasında İlişkiler

Alt Küme

Bir kümenin tüm elemanları diğer bir kümenin elemanı ise, ilk küme ikinci kümenin alt kümesidir. ⊆ sembolü ile gösterilir.
Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4}. A, B’nin alt kümesidir çünkü A’nın tüm elemanları B’de de bulunur. (A ⊆ B)
Bir kümenin boş küme (Ø) alt kümesi olduğunu da gösterebiliriz. Örneğin, her kümenin Ø alt kümesi olduğunu söyleyebiliriz.

Üst Küme:

Bir kümenin elemanları diğer bir kümenin tüm elemanlarını kapsıyorsa, ilk küme ikinci kümenin üst kümesidir. ⊇ sembolü ile gösterilir.
Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4}. B, A’nın üst kümesidir çünkü B’nin tüm elemanları A’da da bulunur. (B ⊇ A)
Bir kümenin evrensel küme (U) üst kümesi olduğunu da gösterebiliriz. Örneğin, her kümenin U üst kümesi olduğunu söyleyebiliriz.

Eşit Küme:

İki kümenin elemanları birebir aynı ise, bu iki küme eşit kümedir. = sembolü ile gösterilir.
Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1}. A ve B eşit kümedir çünkü her iki kümenin de elemanları aynıdır. (A = B)

Boş Küme:

Hiç elemanı olmayan kümedir. Ø ile gösterilir.
Boş küme, her kümenin alt kümesidir ve her kümenin üst kümesidir.
Örnek: Ø ⊆ A ve Ø ⊇ A, her A kümesi için geçerlidir.

Sayı Kümeleri ile İlgili Kavramlar

Birleşme:

İki kümenin elemanlarının bir araya getirilmesiyle oluşan kümedir. ∪ sembolü ile gösterilir.
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} olsun. A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
Birleşme işleminde, her iki kümede de bulunan elemanlar sadece bir kere yazılır.

Kesişme:

İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümedir. ∩ sembolü ile gösterilir.
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} olsun. A ∩ B = {2, 3}.
Kesişme işleminde, her iki kümede de bulunmayan elemanlar kümeye dahil edilmez.

Fark:

Bir kümenin elemanlarından, diğer kümenin elemanlarının çıkarılmasıyla oluşan kümedir. \ sembolü ile gösterilir.
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} olsun. A \ B = {1}.
Fark işleminde, ilk kümede olup da ikinci kümede bulunmayan elemanlar kümeye dahil edilir.

Tamamlayıcı:

Bir kümenin, evrensel kümedeki (U) elemanlarından, o kümenin elemanlarının çıkarılmasıyla oluşan kümedir. U \ A şeklinde gösterilir.
A = {1, 2, 3} ve U = {1, 2, 3, 4, 5} olsun. U \ A = {4, 5}.
Tamamlayıcı işleminde, evrensel kümede olup da ilk kümede bulunmayan elemanlar kümeye dahil edilir.

YKS Matematik Sayı Kümeleri ve Çeşitleri Soru Çözümü

1. √4, 3/2, -5, π/2, 7.25

Çözüm:

√4 = 2, tam sayı olduğu için rasyonel sayıdır.
3/2, iki tam sayının kesri olduğu için rasyonel sayıdır.
-5, negatif tam sayı olduğu için rasyonel sayıdır.
π/2, irrasyonel sayı olan π’nin bir kesri olduğu için rasyonel değildir.
7.25, ondalık gösterimi sonlu olduğu için rasyonel sayıdır.

2. 1/3, √3, √16, 2.5, -7/0

Çözüm:

1/3, iki tam sayının kesri olduğu için rasyonel sayıdır.
√3, irrasyonel sayı olduğu için rasyonel değildir.
√16 = 4, tam sayı olduğu için rasyonel sayıdır.
2.5, ondalık gösterimi sonlu olduğu için rasyonel sayıdır.
-7/0, paydası 0 olduğu için rasyonel sayı değildir.

3. 0.333…, 1.41421356…, √2/2, π/4, e

Çözüm:

0.333…, periyodik ondalık gösterimi olduğu için rasyonel sayıdır.
1.41421356…, sonsuz ve periyodik olmayan ondalık gösterimi olduğu için rasyonel değildir.
√2/2, irrasyonel sayı olan √2’nin bir kesri olduğu için rasyonel değildir.
π/4, irrasyonel sayı olan π’nin bir kesri olduğu için rasyonel değildir.
e, irrasyonel sayı olduğu için rasyonel değildir.

4. Bir pizzayı 8 kişiye eşit şekilde bölmek. Her kişiye 1/8 pizza düşer.

(Rasyonel sayı kullanılır çünkü pizza 8 eşit parçaya bölünebilir.)

5. Bir araba 100 kilometreyi 2 saatte katediyor. Saatte ortalama 50 km/saat hızla gidiyor.

(Rasyonel sayı kullanılır çünkü hız tam sayı olmayabilir.)

6. Bir sınavdan 75 puan almak.

(Rasyonel sayı kullanılır çünkü puan tam sayı olmayabilir.)

7. Bir dikdörtgenin köşegenini hesaplamak.

Köşegen = √(a^2 + b^2) (a ve b tam sayı ise köşegen irrasyonel sayı olabilir.)

8. Bir karenin köşegenini hesaplamak.

Köşegen = √2 * kenar (√2 irrasyonel sayıdır.)

9. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} ve C = {3, 4, 5} kümeleri göz önüne alındığında:

a) A ∪ B ∩ C kümesini bulunuz.

A ∪ B ∩ C kümesini bulmak için önce A ∪ B’yi bulmamız gerekiyor:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

Daha sonra bu kümeyi C ile kesişim alıyoruz:

A ∪ B ∩ C = {1, 2, 3, 4} ∩ {3, 4, 5} = {3, 4}

Dolayısıyla a) şıkkının doğru cevabı {3, 4} olacaktır.

b) (A ∩ B) \ C kümesini bulunuz.

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} ve C = {3, 4, 5} kümeleri göz önüne alındığında (A ∩ B) \ C’yi bulmak için şu adımları izleyebiliriz:

A ∩ B: A ve B kümelerinin kesişimini bulalım. Bu işlem sonucunda, her iki kümede de bulunan elemanlardan oluşan bir küme elde ederiz.

A ∩ B = {2, 3}

(A ∩ B) \ C: A ∩ B kümesinden C kümesindeki elemanları çıkaralım. Bu işlem sonucunda, A ve B kümelerinde bulunan fakat C kümesinde bulunmayan elemanlardan oluşan bir küme elde ederiz.

(A ∩ B) \ C = {2}

Sonuç: (A ∩ B) \ C = {2}

c) A’nın B’ye göre tamamlayıcısını bulunuz.

A’nın B’ye göre tamamlayıcısını bulmak için, B kümesinde olup da A kümesinde bulunmayan elemanları bulmamız gerekir.

1. Adım: B kümesindeki elemanları inceleyelim. B kümesinde {2, 3, 4} elemanları bulunur.

2. Adım: A kümesindeki elemanları inceleyelim. A kümesinde {1, 2, 3} elemanları bulunur.

3. Adım: B kümesindeki elemanları A kümesiyle karşılaştıralım. B kümesinde bulunan 2 ve 3 elemanları, A kümesinde de bulunur. 4 elemanı ise A kümesinde bulunmaz.

Sonuç: A’nın B’ye göre tamamlayıcısı {4} elemanından oluşur.

YKS Matematik Sayı Kümeleri ve Çeşitleri Konu Anlatımı ve Soru Çözümü PDF

Diğer YKS Konularına web sitemizden ulaşabilirsiniz. Sorularınız için lütfen yorum bölümüne çekinmeden yazın. Başarılar dilerim.